Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）总有两个不同的公共点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：根据函数在一点的导数与过这一点切线斜率的关系，求出切线的斜率，再求出f（0），从而求出切线方程．切线与函数曲线有几个公共点，就看切线方程与函数f（x）形成的方程组有几个解，所以连立方程组便能证明（1）．
对于第二问，首先要求令导函数等于0的解有两个不同解，并要求只有一个根在（-1，1）上，从而求出a的范围．

解答： 解：
（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+4，
∴f′（0）=4，且f（0）=b；
∴在点（0，f（0））处的切线方程为：y=4x+b；
解

y=4x+b y= 1 3 x3+ax2+4x+b

得：x=0，或x=-3a；
∵a≠0，方程组有两个不同解，
∴切线与f（x）总有两个不同的公共点．

（Ⅱ）
法一：f′（x）=x²+2ax+4=（x+a）²+4-a²，
根据题意可知：4-a²＜0        ①
方程x²+2ax+4=0有两个实数根，x=-a-

a2-4

，或x=-a+

a2-4

；
∴

-1＜-a- a2-4 ＜1 -a+ a2-4 ＞1

          ②
或

-1＜-a+ a2-4 ＜1 -a- a2-4 ＜-1

          ③
∴解①得：a＜-2，或a＞2；
当a＜-2，或a＞2时②的解是：a＜-

5

2

；
当a＜-2，或a＞2时③的解是：a＞

5

2

．
∴a的取值范围是：（-∞，-

5

2

）∪（

5

2

，+∞）．
法二：∵f（x）在区间（-1，1）上有且仅有一个极值点，
∴由二次函数图象性质可得 f′（-1）f′（1）＜0
即（5-2a）（5+2a）＜0，
解得a＜-

5

2

或a＞

5

2

，
∴a的取值范围是：（-∞，-

5

2

）∪（

5

2

，+∞）．

点评：要使切线与曲线有两个不同公共点，只需连立形成方程组，判断解的个数，有几个解就有几个公共点．而对于第二问，根据极点的定义，在极值点两边的导函数异号，所以f′（-1）f′（1）＜0，不等式的解便是a的取值范围，所以可用这种方法来求a的范围．