Question

已知i是虚数单位，m∈R，z=m（m-1）+（m²+2m-3）i．
（Ⅰ）若z是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围；
（Ⅲ）当m=2时，z是关于x的方程x²+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）根据 z为纯虚数，可得它的实部等于零且虚部不等于零，由此求得m的值．
（Ⅱ）由z所对应的点在第四象限，可得它的实部大于零且虚部小等于零，解得m的范围．
（Ⅲ）把z=2+5i代入方程x²+px+q=0，可得即 （2p+q-21）+（5p+20）i=0，再根据两个复数相等的充要条件求出p、q的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i 为纯虚数，∴

m(m-1)=0 m2+2m-3≠0

，求得m=0．
（Ⅱ）∵z所对应的点在第四象限，∴

m(m-1)＞0 m2+2m-3＜0

，解得-3＜m＜0．
（Ⅲ）当m=2时，z=2+5i 是关于x的方程x²+px+q=0的一个根，
∴（2+5i）²+p（2+5i）+q=0，即 （2p+q-21）+（5p+20）i=0，∴

2p+q-21=0 5p+20=0

．
解得

p=-4 q=29

．

点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，两个复数相等的充要条件，属于基础题．