题目内容
已知a1=1，an＞0，（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求an．
考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：对“（n+1）an+12-nan2+an+1an=0”进行因式分解，结合条件得到
=
，利用累积法求出an．
| an+1 |
| an |
| n |
| n+1 |
解答：
解：由题意得，（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，
则（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0，
因为a1=1，an＞0，所以an+1+an＞0，
则（n+1）an+1-nan=0，即
=
，
所以
=
，
=
，…，
=
，
以上n-1个式子相乘得，
=
，
所以an=
．
则（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0，
因为a1=1，an＞0，所以an+1+an＞0，
则（n+1）an+1-nan=0，即
| an+1 |
| an |
| n |
| n+1 |
所以
| a2 |
| a1 |
| 1 |
| 2 |
| a，3 |
| a2 |
| 2 |
| 3 |
| an |
| an-1 |
| n-1 |
| n |
以上n-1个式子相乘得，
| an |
| a1 |
| 1 |
| n |
所以an=
| 1 |
| n |
点评：本题考查数列递推公式的化简，以及累积法求数列的通项公式，属于中档题．
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