Question

13．给出下列不等式：①x≥ln（x+1）（x＞-1）②$\sqrt{x}$＞-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x-$\frac{1}{2}$（x＞0）③ln$\frac{1+x}{1-x}$＞2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1））其中成立的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，构造函数：f（x）=x-ln（x+1）（x＞-1）．利用导数求出单调区间，即可求出最值，就可判断；
②，取x=1，$\sqrt{x}$＞-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x-$\frac{1}{2}$（x＞0）不成立，；
③，构造函数g（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1）），利用导数求出单调区间，即可求出最值，就可判断；

解答 解：对于①，x≥ln（x+1）（x＞-1），构造函数：f（x）=x-ln（x+1）（x＞-1）．f′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$，可得x∈（-1，0），函数f（x）递减，x∈（0，+∞）递增，故f（x）≥f（0）=0
∴x≥ln（x+1）（x＞-1）成立，故$①\$成立．
对于②，取x=1，$\sqrt{x}$＞-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x-$\frac{1}{2}$（x＞0）不成立，故②不成立；
对于③，ln$\frac{1+x}{1-x}$＞2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1）），构造函数g（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1）），
g′（x）=$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-2（1+{x}^{2}）$=$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{2}}＞$0，∴g（x）在（0，1）递增，而g（0）=0，故x∈（0，1）时，g（x）＞0恒成立，故$③\\;成立$成立．
故选：B

点评 本题考查了构造函数，证明不等式，属于中档题．