Question

19．在极坐标系中，曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）C与C₁，C₂交于不同四点，这四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，求||PQ|-|RS||的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角标准方程．
（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t₁，t₂，t₃，t₄．曲线C的参数方程代入抛物线方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄．曲线C的参数方程代入圆的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃．∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-2x=0，
∵曲线${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为：y²=4x．
（Ⅱ）设四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，其参数分别为t₁，t₂，t₃，t₄．
曲线C的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）代入抛物线方程y²=4x，
可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄=$\frac{8}{3}$．
曲线C的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃=-1．
∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|=|1+$\frac{8}{3}$|=$\frac{11}{3}$．
故答案为：$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查曲线与坐标轴的交点坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．