Question

4．把参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4k}{1-{k}^{2}}}\\{y=\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}}\end{array}\right.$（k为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

分析 由已知得y=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=k×$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$=kx，从而k=$\frac{y}{x}$，由此能求出该参数方程的普通方程．

解答 解：∵参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4k}{1-{k}^{2}}}\\{y=\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}}\end{array}\right.$（k为参数），
∴y=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=k×$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$=kx，
∴该参数方程的普通方程为y=kx，∴k=$\frac{y}{x}$，
∴x=$\frac{4×\frac{y}{x}}{1-\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}$，整理，得该曲线的普通方程为x²-y²-4y=0．
它表示焦点在y轴上的双曲线．

点评 本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．