Question

已知函数f（x）=

x2+bx+1

x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[

1

2

，2]上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=

x2+bx+1

x+a

是奇函数，故f（0）=

1

a

=0，从而求出a，b的值；
（2）由（1）求出函数表达式f（x）=

x2+1

x

，即可求出单调区间．
（3）根据（2）f（x）在[

1

2

，2]上的单调性即可求出值域．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+bx+1

x+a

，
∵函数为奇函数，且定义域为R
∴f（0）=

1

a

=0
∴a=0
∵f（-x）=

x2-bx+1

a-x

=-

x2+bx+1

x+a

=-f（x），
∴x²-bx+1=x²+bx+1
∴b=0
∴a=b=0．
（2）由（1）得f（x）=

x2+1

x

设x₁，x₂属于（0，+∞） x₁＜x₂
f（x1）-f（x2）=

x12+1

x1

-

x22+1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1×x2

．
x₁-x₂＜0 x₁x₂＞0
①在（0，1]上 x₁x₂＜1 所以 x₁x₂-1＜0 所以单调递减
②在（1，+∞）上 x₁x₂＞1 所以 x₁x₂-1＞0 所以单调递增
同理（-1，0）单调递减 （-∞，-1）单调递增
∴函数在（-∞，-1）及（1，+∞）上为增函数，在[-1，0）和（0，1]上为减函数．
（3）f（

1

2

）=

5

2

，f（1）=2，f（2）=

5

2

，
在[

1

2

，1]上f（x）减函数，[1，2]上f（x）为增函数，故可知f（x）在[

1

2

，2]上最大值为

5

2

，最小值为2，
故值域为[2，

5

2

]．

点评：本题主要考察了函数单调性的判断与证明、函数的值域的求法、函数奇偶性的应用，属于中档题．