Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意的x₁，x₂，当x₁，x₂（x₁≠x₂）都在（0，+∞）时总有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，并满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），可令x=y=1，即可得到f（1）；
（2）由于对任意的x₁，x₂，当x₁，x₂（x₁≠x₂）都在（0，+∞）时，总有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，即x₁＜x₂时，总有f（x₁）＞f（x₂）成立，由单调性的定义，即可得证；
（3）由于f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1．则f（

1

9

）=2f（

1

3

）=2．再由函数的单调性，即可解出不等式
f（x）+f（2-x）＜2，注意定义域．

解答： （1）解：由f（xy）=f（x）+f（y），
可令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
即有f（1）=0；
（2）证明：由于对任意的x₁，x₂，当x₁，x₂（x₁≠x₂）都在（0，+∞）时，
总有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
即x₁＜x₂时，总有f（x₁）＞f（x₂）成立，
则f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）解：由于f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1．
则f（

1

9

）=2f（

1

3

）=2．
则f（x）+f（2-x）＜2即为f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
由f（x）在（0，+∞）上单调递减，
则

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

即有

x＞0 x＜2 3-2 2 3 ＜x＜ 3+2 2 3

，
则

3-2 2

3

＜x＜

3+2 2

3

．
故x的取值范围是（

3-2 2

3

，

3+2 2

3

）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及运用：解不等式，注意定义域，考查运算能力．