题目内容
设函数f（x）=sinx+
cosx+1．
（1）求函数f（x）在[0，
]的最大值与最小值；
（2）若实数a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意x∈R恒成立，求
的值．
| 3 |
（1）求函数f（x）在[0，
| π |
| 2 |
（2）若实数a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意x∈R恒成立，求
| bcosc |
| a |
考点：三角函数的最值
专题：常规题型,三角函数的图像与性质
分析：（1）先把函数f（x）=sinx+
cosx+1化成标准形式，然后再求最值；
（2）代入f（x）整理，化成标准形式，根据对任意x∈R恒成立，让系数等于0，求得
的值．
| 3 |
（2）代入f（x）整理，化成标准形式，根据对任意x∈R恒成立，让系数等于0，求得
| bcosc |
| a |
解答：
解：（1）f（x）=sinx+
cosx+1
=2（
sinx+
cosx）+1
=2sin（x+
）+1
∵x∈[0，
]，∴x+
∈[
，
]
∴
≤sin（x+
）≤1，∴2≤2sin（x+
）+1≤3
∴函数f（x）在[0，
]的最大值为3；最小值为2．
（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+
）+1]+b[2sin（x+
-c）+1]=1
2asin（x+
）+2bsin（x+
-c）=1-a-b
2asin（x+
）+2bsin（x+
）cosc-2bcos（x+
）sinc=1-a-b
（2a+2bcosc）sin（x+
）-（cos（x+
）=1-a-b
sin（x+
+φ）=1-a-b
因为上式对一切的x恒成立，所以
=0
∴
∴由2a+2bcosc=0得：
=-1．
| 3 |
=2（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=2sin（x+
| π |
| 3 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴函数f（x）在[0，
| π |
| 2 |
（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
2asin（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
2asin（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2a+2bcosc）sin（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| (2a+2bcosc)2+(2bsinc)2 |
| π |
| 3 |
因为上式对一切的x恒成立，所以
| (2a+2bcosc)2+(2bsinc)2 |
∴
|
∴由2a+2bcosc=0得：
| bcosc |
| a |
点评：本题考查了三角函数的图象与性质及恒成立问题，解决本题的关键是化成三角函数的标形式．
练习册系列答案
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