Question

10．已知函数f（x）=lnx-ax-1（a∈R），g（x）=xf（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$+2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得x＞0，$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$，
（ⅰ）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；
（ⅱ）当a＞0时，由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{a}$；
所以函数f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{1}{a}）$，单调递减区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$．
（Ⅱ）因为$g（x）=xf（x）+\frac{1}{2}{x^2}+2x$=$x（lnx-x-1）+\frac{1}{2}{x^2}+2x$=$xlnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
则g'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2=f（x）+3．
由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
又因为$g'（\frac{1}{e^2}）=-2-\frac{1}{e^2}+2$=$-\frac{1}{e^2}＜0$，g'（1）=1＞0，
所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x₁．
又在（0，x₁）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上单调递减；
在（x₁，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x₁，1）上单调递增．
所以x₁为极值点，此时m=0．
又g'（3）=ln3-1＞0，g'（4）=2ln2-2＜0，
所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x₂．
又在（3，x₂）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x₂）上单调递增；
在（x₂，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x₂，4）上单调递减．
所以x₂为极值点，此时m=3．
综上所述，m=0或m=3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．