Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁=2，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*，都有

a 2 n + a 2 n+1

an+an+1

≥5成立，求n为偶数时，a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知得数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列，数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列，从而a_n=

2n，n=2k-1 2n-5，n=2k

，由此能求出S_n．
（II）当n为偶数时，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁，从而a12+3a₁≥-4n²+16n-12．令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4．由此能求出a₁的取值范围．

解答： 解：（I）由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），
得a_n+2+a_n+1=4n+1（n∈N^*）．
两式相减，得a_n+2-a_n=4．
所以数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列；
数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列．…（2分）
由a₂+a₁=1，a₁=2，得a₂=-1．
所以a_n=

2n，n=2k-1 2n-5，n=2k

，（k∈Z）．…．…（3分）
①当n为奇数时，a_n=2n，a_n+1=2n-3，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=1+9+…+（4n-11）+2n=

n-1 2 ×(1+4n-11)

2

+2n=

2n2-3n+5

2

．…（5分）
②当n为偶数时，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=1+9+…+（4n-7）=

2n2-3n

2

．
所以S_n=

2n2-3n+5 2 ，n=2k-1 2n2-3n 2 ，n=2k

，（k∈Z）．…（7分）
（II）由（I）知，a_n=

2n-2+a1，n=2k-1 2n-3-a1，n=2k

，（k∈Z）．
当n为偶数时，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁．
由

an2+an+12

an+an+1

≥5，得a12+3a₁≥-4n²+16n-12．…（9分）
令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4．
当n=2时，g（n）_min=4，所以a12+3a₁≥4．
解得a₁≥1或a₁≤-4．…（11分）
综上所述，a₁的取值范围是（-∞，-4]∪[2，+∞）．…（12分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的首项的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．