Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=$\frac{5}{3}$上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{NQ}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得a，由a，b，c的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；
方法二、运用A在椭圆上，代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，$\frac{5}{3}$），Q（x₄，y₄），MN的中点为D（x₀，y₀），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D为线段MN的中点，则D为线段PQ的中点，求得y₄的范围，即可判断．

解答 解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，
因为A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C上，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
因此a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
方法二：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，
因为A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C上，
所以c=1，a²-b²=c²，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，$\frac{5}{3}$），Q（x₄，y₄），MN的中点为D（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去x，得9y²-2ty+t²-8=0，
所以y₁+y₂=$\frac{2t}{9}$，且△=4t²-36（t²-8）＞0
故y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{9}$ 且-3＜t＜3，
由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{NQ}$，知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，
所以y₀=$\frac{\frac{5}{3}+{y}_{4}}{2}$=$\frac{t}{9}$，
可得y₄=$\frac{2t-15}{9}$，
又-3＜t＜3，可得-$\frac{7}{3}$＜y₄＜-1，
因此点Q不在椭圆上，
故不存在满足题意的直线l．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查向量共线的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．