Question

18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{2}$且bsin（$\frac{π}{4}$+C）-csin（$\frac{π}{4}$+B）=a，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{8}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由已知化简整理求得sin（B-C）=1，结合角的范围得到B，C的值，再利用正弦定理求得b，代入三角形面积公式求得答案．

解答 解：由bsin（$\frac{π}{4}$+C）-csin（$\frac{π}{4}$+B）=a，A=$\frac{π}{4}$，
得：sinBsin（$\frac{π}{4}+C$）-sinCsin（$\frac{π}{4}+B$）=sinA．
sinB（$\frac{\sqrt{2}}{2}sinC$+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosC$）-sinC（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得sinBcosC-cosBsinC=1，
即sin（B-C）=1，
∵A=$\frac{π}{4}$，
∴B+C=$\frac{3π}{4}$，①
即0＜B＜$\frac{3π}{4}$，0＜C＜$\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{3π}{4}$＜-C＜0，
则-$\frac{3π}{4}$＜B-C＜$\frac{3π}{4}$，
从而B-C=$\frac{π}{2}$．②
联立①②解得B=$\frac{5π}{8}$，C=$\frac{π}{8}$．
sin$\frac{5π}{8}$=$\sqrt{\frac{1-cos\frac{5}{4}π}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$，
sin$\frac{π}{8}$=$\sqrt{\frac{1-cos\frac{π}{4}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$．
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$b=\frac{a•sinB}{sinA}=\frac{\sqrt{2}•sin\frac{5π}{8}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab•sinC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了三角形的解法，训练了正弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．