Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$（-1，\frac{3}{2}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四边形F₁MNF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程，消去y，得到x的二次方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，所以${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$，
又点$（-1，\frac{3}{2}）$在该椭圆C上，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{9}{4}}}{b^2}=1$．
解得a²=4，b²=3．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，
得7x²+8mx+4m²-12=0，
由直线与椭圆C仅有一个公共点可知，△=64m²-28（4m²-12）=0，
化简得，m²=7．
由F₁（-1，0），F₂（1，0），
设${d_1}=|{{F_1}M}|=\frac{{|{-1+m}|}}{{\sqrt{2}}}$，${d_2}=|{{F_2}N}|=\frac{{|{1+m}|}}{{\sqrt{2}}}$，
由直线l的斜率为1，可得|d₁-d₂|=|MN|，
所以四边形F₁MNF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|d₁-d₂|（d₁+d₂）
=$\frac{1}{2}$|d₁²-d₂²|=$\frac{1}{2}$•2|m|=|m|=$\sqrt{7}$．
故四边形F₁MNF₂的面积为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和点满足椭圆方程，考查四边形的面积的求法，注意运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，考查点到直线的距离公式的运用，以及运算化简整理能力，属于中档题．