Question

20．证明：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＞1（n∈N^*）

Answer 1

分析 先验证n=1时结论成立，再假设n=k时结论成立，推出n=k+1时结论成立．

解答 证明：（1）n=1时，左边=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{13}{12}$＞1，结论成立．
（2）假设n=k时结论成立，即$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+$…+$\frac{1}{3k+1}$＞1，
则n=k+1时，左边=$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+$…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$
=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+$…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
＞1+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
=1+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{2}{3k+3}$
=1+$\frac{2}{（3k+2）（3k+3）（3k+4）}$
＞1．
∴当n=k+1时，结论成立．
∴对一切n∈N^*，都有$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＞1．

点评 本题考查了数学归纳法的证明，观察n=k和n=k+1时的式子特点做出变换是解题关键．