Question

11．已知函数$f（x）={x^3}+a{x^2}+bx在x=-\frac{2}{3}与x=1$处都取得极值．
（1）求a，b的值；   
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可求出a，b的值；
（2）解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（1）由已知可得f'（x）=3x²+2ax+b，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（-\frac{2}{3}）=\frac{12}{9}-\frac{4}{3}a+b=0\\ f'（1）=3+2a+b=0\end{array}\right.$…（3分）
可得$a=-\frac{1}{2}，b=-2$；…（6分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
由$f'（x）=0，得x=-\frac{2}{3}或x=1$．列表如下：

x	$（-∞，-\frac{2}{3}）$	$-\frac{2}{3}$	$（-\frac{2}{3}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

所以函数f（x）的递增区间为$（-∞，-\frac{2}{3}）$与（1，+∞），递减区间为$（-\frac{2}{3}，1）$；…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．