Question

16．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）当b＜0时，若关于x的方程f（x）=0在区间[-1，1]内有2个不同的实数根，求2a+b的取值范围．
（2）当|f（x）|≤1在[-1，1]上恒成立，都有|x+a|≤M在[-1，1]上恒成立，求M的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的图象和性质，可得f（-1）≥0，且f（1）≥0，且-1≤-$\frac{a}{2}$≤1，b＜0，可以（a，b）为坐标，作出上面不等式组表示的可行域，令z=2a+b，平移直线2a+b=0，即可得到z的最值，进而得到所求范围；
（2）当|f（x）|≤1在[-1，1]上恒成立，1≥|f（x）|的最大值，运用绝对值不等式的性质，可得a=b=0，即有M≥|x|在[-1，1]的最大值，求得最大值1，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当b＜0时，△=a²-4b＞0，
由题意可得f（-1）≥0，且f（1）≥0，且-1≤-$\frac{a}{2}$≤1，
即有1-a+b≥0，1+a+b≥0，-2≤a≤2，b＜0．
可以（a，b）为坐标，作出上面不等式组表示的可行域，
令z=2a+b，平移直线2a+b=0，
当经过点A（1，0）时，2a+b取得最大值2；
经过点B（-1，0）时，2a+b取得最小值-2．
则2a+b的取值范围是[-2，2]；
（2）当|f（x）|≤1在[-1，1]上恒成立，
1≥|f（x）|的最大值，
由|f（x）|=|x²+ax+b|≤|x²|+|ax|+|b|
≤1+|a|+|b|，
则1≥1+|a|+|b|，但|a|+|b|≥0，
即有|a|+|b|=0，可得a=b=0，
则|x+a|≤M在[-1，1]上恒成立，即为M≥|x|在[-1，1]的最大值，
由|x|≤1，可得M≥1，
即M的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查二次函数与二次方程、二次不等式的关系，考查二次方程实根的分布和不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．