题目内容

8．.已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=（n-1）2n+1+2，n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，Tn=b1+b2+…+bn，求证：对任意的n∈N*，Tn＜$\frac{3}{4}$．

分析 （I）a1+2a2+…+nan=（n-1）2n+1+2，n∈N*，n＞1时，a1+2a2+…+（n-1）an-1=（n-2）2n+2，相减可得：nan=（n-1）2n+1-（n-2）2n，化简即可得出．
（II）bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项求和方法可得：Tn，再利用数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：a1+2a2+…+nan=（n-1）2n+1+2，n∈N*，n＞1时，a1+2a2+…+（n-1）an-1=（n-2）2n+2，
∴nan=（n-1）2n+1-（n-2）2n，化为：an=2n．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an=2n．
（II）证明：bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴Tn=b1+b2+…+bn=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴对任意的n∈N*，Tn＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、对数运算性质、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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