Question

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数试判断函数在上的符号,并证明:

（）．

Answer 1

试题解析：（Ⅰ）

     由题意

             ①  ………………………………………………（1分） 

         ②

    由①、②可得，

    故实数a的取值范围是…………………………（3分   ）     

（Ⅱ）存在    ………………………………………（5分）

    由（1）可知，

    ，且

	+	0	－	0	+
	单调增	极大值	单调减	极小值	单调增

    ，

    .…………………………………………………（6分）

     …………………………………（7分）  

   

的极小值为1.………………………………（8分）   

（Ⅲ）由

即

故，

则在上是增函数，故，

所以，在上恒为正。.………………………………（10分）   

（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）

当时，，设，则

即：.………………………………（12分）

上式分别取的值为1、2、3、……、累加得：

，（）

，（）

，（）

，（）

即，，（），当时也成立……………（14分）

考点：1.利用导数处理曲线的切线；2.利用导数求函数的极值；2.利用函数的单调性证明函数不等式