Question

已知函数f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角的余弦可得f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴⇒2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），于是可求得g（2x₀）；
（2）利用三角恒等变换，可得h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），x∈[0，

π

4

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性质即可求得x∈[0，

π

4

]时，h（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴2x₀+

π

6

=kπ（k∈Z），∴2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x₀=1+

1

2

sin（-

π

3

）=

4- 3

4

．
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴x∈[0，

π

4

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，
∴h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

）∈[

7

4

，2]．

点评：本题考查二倍角的余弦，考查三角函数中的恒等变换及其应用，着重考查正弦函数的单调性质，属于中档题．