Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，动点F在校CE上，无论点F运动到何处时，总有BF⊥AE．
（Ⅰ）试判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并证明你的结论；
（Ⅱ）求二面角D-CE-A的余弦值的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCE．利用空间几何知识进行证明．
（Ⅱ）取AB中点O为原点，以OE为x轴，OB为y轴，过O垂直于平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-CE-A的余弦值的大小．

解答： 解：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCE．
∵动点F在棱CE上，无论点F运动到何处时，总有BF⊥AE，
∴AE⊥平面BCE，
∵AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）取AB中点O为原点，以OE为x轴，OB为y轴，过O垂直于平面ABE的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知：A（0，-1，0），D（0，-1，2），
C（0，1，2），E（1，0，0），

DC

=（0，2，0），

CE

=（1，-1，-2），

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2），
设平面EDC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DC =2y=0 n • CE =x-y-2z=0

，
取x=2，得

n

=(2，0，1)，
设平面EAC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • AE =x1+y1=0 m • AC =2y1+2z1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，-1，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2+0+1

5 • 3

=

15

5

．
∴二面角D-CE-A的余弦值的大小为

15

5

．

点评：本题考查平面与平面是否垂直的判断与证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．