Question

18．自2017年2月底，90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章，某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象，对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查，其中“准备参加”、“不准备参加”和“待定”的人数如表：

	准备参加	不准备参加	待定
男生	30	6	15
女生	15	9	25

（I）在所有参加调查的同学中，在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流，则在“准备参加”、“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人？
（II）在“准备参加”自主招生的同学中用分层抽样方法抽取6人，从这6人中任意抽取2    人，求至少有一名女生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分层抽样原理，分层抽样时的比值为$\frac{20}{100}=0.2$，即可求出在“准备参加”、“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人；
（Ⅱ）求出所抽取的6人中男生应抽4人，女生抽2人，用列举法计算所有的基本事件数，求出对应的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）分层抽样时的比值为$\frac{20}{100}=0.2$，-------------------（1分）
所以，在“准备参加”的同学中应抽取（30+15）×0.2=9（人），---------------------（2分）
在“不准备参加”的同学中应抽取（6+9）×0.2=3（人），---------------------（3分）
在“待定”的同学中应抽取（15+25）×0.2=8（人）．---------------------（4分）
（Ⅱ）在“准备参加”自主招生的同学中用分层抽样方法抽取6人，
则男生应抽4人，女生抽2人，--------------------------------（5分）
男生4人分别记作1，2，3，4，女生2人分别记作5，6．
从6人中任取2人共有以下15种情况：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）．----------------------------------------（8分）
其中至少有一名女生的情况共有9种：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）．-------------------------（10分）
所以，至少有一名女生的概率$P=\frac{9}{15}=0.6$．--------------------（12分）

点评 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．