Question

已知函数y=f（x），我们把满足f（x₀）=kx₀的实数x₀叫做函数f（x）的k倍不动点，设f（x）=x²+（2a+1）x+a²+a．
（1）若f（x）在区间[0，2]有两个相异的1倍不动点，求实数a，并求出此不动点；
（2）若对任意k≥3，f（x）都有k倍不动点，求实数a的取值范围；
（3）设m，n（m＜n）为f（x）的2倍不动点，且函数f（x）在x∈[m，n]时值域为[2m，2n]，求a的取值范围；
（4）函数f（x）在x∈[m，n]（m＜n）时单调，且值域恰为[2m，2n]，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=x，解出方程的两根，令两根大于等于0，小于等于2，解得即可；
（2）令f（x）=kx，判别式△≥0恒成立，讨论对称轴与3的关系，解不等式，即可得到a的范围；
（3）令f（x）=2x，判别式大于0，区间为[m，n]为增区间，考虑对称轴与区间的关系，解得即可；
（4）若为增，考虑对称轴与区间的关系和判别式大于0，即有-a-

1

2

≤-

1

8

；考虑为减，则f（m）=2n，f（n）=2m，作差可得，m+n=-3-2a，代入f（m）=2n，再由判别式大于等于0，及区间在对称轴的左边，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）f（x）=x²+（2a+1）x+a²+a区间[0，2]有两个相异的1倍不动点，
则x²+2ax+a²+a=0区间[0，2]有两个相异的实根，
即有x=-a±

-a

∈[0，2]，
由0≤-a+

-a

≤2，解得，-1≤a＜0；
由0≤-a-

-a

≤2，解得，-4≤a≤-1．
则a=-1，此时两个不动点为0，2；
（2）对任意k≥3，f（x）都有k倍不动点，即有
f（x）=x²+（2a+1）x+a²+a=kx恒有解，
即方程x²+（2a+1-k）x+a²+a=0恒有解．
则判别式△≥0恒成立，即（2a+1-k）²-4（a²+a）≥0，
若2a+1≥3即a≥1，且4（a²+a）≤0，则a无解，不成立；
若2a+1＜3，即a＜1，且4（a²+a）≤（2a+1-3）²，即有a≤

1

3

，
则有a≤

1

3

．
综上可得，a的取值范围为（-∞，

1

3

]；
（3）由于m，n（m＜n）为f（x）的2倍不动点，
则f（x）=2x有两个不相等的实根，即x²+（2a+1）x+a²+a=2x，
即有x²+（2a-1）x+a²+a=0，则由（2a-1）²-4（a²+a）＞0，
解得，a＜

1

8

；
函数f（x）在x∈[m，n]时值域为[2m，2n]，
由于y=2x为增函数，则f（x）在[m，n]为单调增区间，即有f（m）=2m，f（n）=2n，
且-a-

1

2

≤m，f（x）的最小值为

4(a2+a)-(2a+1)2

4

=-

1

4

，
即有-

1

4

=-2a-1，解得，a=-

3

8

．
则a的取值范围为[-

3

8

，

1

8

）；
（4）函数f（x）在x∈[m，n]（m＜n）时单调，且值域恰为[2m，2n]，
若为增函数，则有f（m）=2m，f（n）=2n，
且-a-

1

2

≤m，f（x）的最小值为

4(a2+a)-(2a+1)2

4

=-

1

4

，
即有2m≥-

1

4

，即m≥-

1

8

，则-a-

1

2

≤-

1

8

，解得，a≥-

3

8

；
若为减函数，则有f（m）=2n，f（n）=2m，
即为m²+（2a+1）m+a²+a=2n，n²+（2a+1）n+a²+a=2m，
由于m＜n，相减得，m+n=-3-2a，
即有m²+（2a+3）m+a²+5a+6=0有解，则判别式（2a+3）²-4（a²+5a+6）≥0，
解得，a≤-

15

8

，
又2m≤-

1

4

，即m≤-

1

8

，且-a-

1

2

≥n＞m，即有-a-

1

2

≥-

1

8

，解得，a≤-

3

8

．
则有a≤-

15

8

成立．
综上可得，a≥-

3

8

或a≤-

15

8

．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查二次方程和二次函数的关系，考查函数的定义域和值域的关系，及函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．