Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，BC₁与B₁C的交点为E，AC=AB₁，F为AA₁的中点．
（1）求证：面FCB₁⊥面ABC₁；
（2）求证：EF∥面ABC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AE，证明B₁C⊥平面ABC₁，即可证明面FCB₁⊥面ABC₁；
（2）取BC的中点O，连接OA，OE，证明四边形OEAF是平行四边形，即可证明EF∥面ABC．

解答： 证明：（1）连接AE，则
∵BC₁与B₁C的交点为E，
∴E为B₁C的中点
∵AC=AB₁，
∴B₁C⊥AE，
∵侧面BB₁C₁C为菱形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AE∩BC₁=E，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵B₁C?面FCB₁，B₁C⊥平面ABC₁，
∴面FCB₁⊥面ABC₁；
（2）取BC的中点O，连接OA，OE，则OE平行且等于

1

2

CC₁，
∵F为AA₁的中点，
∴AF平行且等于

1

2

CC₁，
∴AF平行且等于OE
∴四边形OEAF是平行四边形，
∴EF∥OA，
∵EF∥OA，EF?面ABC，OA?面ABC，
∴EF∥面ABC．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，解题时要注意空间思维能力的培养．