Question

已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x-3|+m．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞x+1；
（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）图象上有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的图象

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用绝对值的定义，可得

x-2≥0 x-2＞x+1

或

x-2＜0 2-x＞x+1

，分别解出它们，再求并集即可；
（Ⅱ）y=f（x）与y=g（x）图象上有公共点，即方程f（x）=g（x）有解．即m=|x-2|+|x-3|有解，运用去绝对值的方法求出右边的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞x+1即为|x-2|＞x+1，
即有

x-2≥0 x-2＞x+1

或

x-2＜0 2-x＞x+1

，即x∈∅或x＜

1

2

，
故不等式的解集为（-∞，

1

2

）；
（Ⅱ）y=f（x）与y=g（x）图象上有公共点，即方程f（x）=g（x）有解．
f（x）=g（x）即|x-2|=-|x-3|+m．即有m=|x-2|+|x-3|，
由于y=|x-2|+|x-3|=

5-2x(x＜2) 1(2≤x≤3) 2x-5(x＞3)

，则函数y的值域为[1，+∞）．
则m≥1．
故实数m的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查两函数的图象有交点转化为方程有解，考查分离参数法，求含绝对值的函数的值域的方法，属于中档题．