Question

6．已知函数f_M（x）的定义域为实数集R，满足f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x∈M\\ 0，x∉M\end{array}$（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=ϕ，则F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}$的值域为$\{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\}$．

Answer 1

分析 对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．

解答 解：当x∈C_R（A∪B）时，f_A∪B（x）=0，f_A（x）=0，
f_B（x）=0，
∴F（x）=$\frac{0+1}{0+0+2}$=$\frac{1}{2}$；
同理得：当x∈B时或x∈A时，F（x）=$\frac{1+1}{1+1+1}$=$\frac{2}{3}$；
故F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}$的值域为{$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$}
故答案为：{$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$}．

点评 本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的函数f_M（x）的正确理解，属于创新型题目．