Question

17．已知等差数列{a_n}，如果a₄=4，a₃+a₇=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，数列{a_n}的前n的和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a₃+a₇=2a₅，则a₅=5，则则d=a₅-a₄=1，由等差数列性质a_n=a₅+（n-5）d=n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂项法”即可求得数列{a_n}的前n的和S_n．

解答 解：（1）由等差数列{a_n}，公差为d，
由a₃+a₇=2a₅，
∴2a₅=10，则a₅=5，
则d=a₅-a₄=5-4=1，
由等差数列的性质：a_n=a₅+（n-5）d=5+n-5=n，
数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{a_n}的前n的和S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
数列{a_n}的前n的和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等数列通项公式及等差数列的性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．