Question

定义函数f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，4]内的最大值为（　　）

• A、-6
• B、-3
• C、0
• D、3

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题

分析：对函数进行分段讨论，得出每个 区间上g（x）的解析式，进而根据函数的单调性求得最大值，最后综合求得答案．

解答： 解：①当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8x-8，
∴g(x)=8(x-

1

2

)2-8，此时当x=

3

2

时，g（x）_max=0；
②当

3

2

＜x≤2时，f（x）=16-8x，
∴g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）_max=0．
③当2≤x≤3时，由函数f（x）的定义知f(x)=

1

2

f(

x

2

)，
∵1≤

x

2

≤

3

2

，所以g（x）=2（x-1）²-8，此时当x=3时，g（x）_max=0；
④当3≤x≤4时，同理可知，g（x）=-2（x-2）²+8＜0．
由此可得2≤x≤4时，g（x）_max=0．
综上，函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，4]内的最大值为0．
故选：C

点评：本题主要考查了分段函数和函数的单调性的应用．可以灵活运用分类讨论和数形结合的思想．