Question

【题目】如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．

（I）求证： ．

（II）若， 分别是， 的中点，求证： ∥平面．

（III）若二面角的大小为，求线段的长

Answer 1

【答案】（I）见解析（II）见解析（III）

【解析】试题分析：

（1）∵平面，∴．又，所以面．从而（2）欲证线面平行，转证即可，（3））以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．

求出法向量，带入公式即可.

试题解析：

（I）∵平面， 面，

∴．

∵， ，

∴中， ，

∴．

∵，

∴面．

∵面，

∴．

（II）连接交于点．

∵四边形是平行四边形，

∴是的中点．

又∵， 分别是， 的中点，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又平面， 面，

∴平面．

（III）∵，且平面，

∴， ， 两两垂直。

以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．

设，则， ， ， ，

∴， ， ．

设平面的法向量为，

故， ，

则有，令，则，

又平面的法向量为．

∵二面角的大小为，

∴，

解得，即，

，

∴．