题目内容

【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 . 求证:

(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

【答案】
(1)解:∵D,E分别为AB,BC的中点,

∴DE为△ABC的中位线,

∴DE∥AC,

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱,

∴AC∥A1C1

∴DE∥A1C1

∵A1C1平面A1C1F,且DE平面A1C1F,

∴DE∥A1C1F;


(2)解:∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱,

∴AA1⊥平面A1B1C1

∴AA1⊥A1C1

又∵A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1、A1B1平面AA1B1B,

∴A1C1⊥平面AA1B1B,

∵DE∥A1C1

∴DE⊥平面AA1B1B,

又∵A1F平面AA1B1B,

∴DE⊥A1F,

又∵A1F⊥B1D,DE∩B1D=D,且DE、B1D平面B1DE,

∴A1F⊥平面B1DE,

又∵A1F平面A1C1F,

∴平面B1DE⊥平面A1C1F.


【解析】(1)通过证明DE∥AC,进而DE∥A1C1 , 据此可得直线DE∥平面A1C1F1;(2)通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D,进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F.

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