Question

【题目】已知n∈N* ， 设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1= 且S2+a2 ， S4+a4 ， S3+a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{nan}的前n项和为Tn ， 求证：对于任意正整数n， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列 {an}的公比为q，由2（S4+a4）=S2+a2+S3+a3，

得（S4﹣S2）+（S4﹣S3）+2a4=a2+a3，即4a4=a2，

∴q2= ，

∵{an}是单调递减数列，

∴q= ，

∴an=（ ）n．

（2）解：由（1）知 ，

∴ ，

① ，②

②﹣①得： ， ，

由 ，得T1＜T2＜T3＜…＜Tn，

故 ，

又 ，

因此对于任意正整数n，

【解析】（1）依题意可求得q= ，而a1=1，从而可求数列{an}的通项公式；（2）利用“错位相减法”即可得出数列{nan}的前n项和为Tn ， 再利用放缩法即可证明．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．