已知向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=3.|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|.若|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立.则实数λ的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|，若|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为（-∞，-3]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．

分析利用向量模的性质得出|$\overrightarrow{a}$|的范围，根据|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|得出$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的关系，然后分情况解答，求出λ的取值范围．

解答 ∵|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|，
∴，|$\overrightarrow{a}$|²=4（|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|）²，
∴3|$\overrightarrow{a}$|²-8$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4|$\overrightarrow{b}$|²=0
∴（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0
∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$
（1）当$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$时，
∵|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，
∴|$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，
∴|$\frac{2}{3}$+λ|≥1
∴$\frac{2}{3}$+λ≥1或$\frac{2}{3}$+λ≤-1
∴λ≥$\frac{1}{3}$或λ≤-$\frac{5}{3}$．
（2）当$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$时
∵|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，
∴|2$\overrightarrow{b}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立
∴|λ+2|≥1
∴λ≥-1或λ≤-3
∴实数λ的取值范围为（-∞，-3]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）
综上所述λ的取值范围为（-∞，-3]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．