Question

13．如图，半圆O的半径为1，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边做等边三角形ABC，设∠AOB=θ．
（1）当$θ=\frac{π}{3}$时，求四边形OACB的面积；
（2）求线段OC长度的最大值，并指出此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算AB，分布求出△OAB和△ABC的面积即可；
（2）根据余弦定理、正弦定理用θ表示出AB，sin∠OAB，计算cos∠OAC，利用余弦定理得出OC关于θ的函数，根据三角恒等变换求出最值．

解答 解：（1）在△OAB中，由余弦定理得AB²=1+4-2×1×2×cos$\frac{π}{3}$=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形OACB的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
（2）由余弦定理得AB²=1+4-2×1×2×cosθ=5-4cosθ，
∴AB=$\sqrt{5-4cosθ}$，∴AC=$\sqrt{5-4cosθ}$，
由正弦定理得$\frac{AB}{sinθ}=\frac{OB}{sin∠OAB}$，即sin∠OAB=$\frac{OBsinθ}{AB}$=$\frac{sinθ}{\sqrt{5-4cosθ}}$，
∴cos∠OAB=$\frac{2-cosθ}{\sqrt{5-4cosθ}}$，
∴cos∠OAC=cos（∠OAB+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2-cosθ}{2\sqrt{5-4cosθ}}$-$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2\sqrt{5-4cosθ}}$，
由余弦定理得：OC²=4+5-4cosθ-2×2×$\sqrt{5-4cosθ}$×（$\frac{2-cosθ}{2\sqrt{5-4cosθ}}$-$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2\sqrt{5-4cosθ}}$）=5+2$\sqrt{3}$sinθ-2cosθ=5+4sin（θ-$\frac{π}{6}$）．
∵θ∈（0，π），
∴当θ=$\frac{2π}{3}$时，OC最大，OC的最大值为3．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理，解三角形的应用，三角恒等变换，属于中档题．