Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，且2S_n=n（a_n+1），n∈N^*
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=pn-a_n，且{b_n}的前n项和为T_n，若对任意n∈N^*，都有T_n≤T₆，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a₂=3，且2S_n=n（a_n+1），n=2时，2（a₁+a₂）=2（a₂+1），解得a₁．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），化为（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=1．na_n-（n-1）a_n+1=1，相减可得：2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2），再利用等差数列的通项公式可得a_n．
（2）b_n=pn-a_n=（p-2）n+1．可得数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{p-2}{2}{n}^{2}$+$\frac{p}{2}$n，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₂=3，且2S_n=n（a_n+1），∴n=2时，2（a₁+a₂）=2（a₂+1），即2（a₁+3）=2×（3+1），解得a₁=1．
n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=n（a_n+1）-（n-1）（a_n-1+1），∴（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=1．
∴na_n-（n-1）a_n+1=1，相减可得：2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2）．∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×（3-1）=2n-1．
（2）b_n=pn-a_n=pn-（2n-1）=（p-2）n+1．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{n[（p-2）n+1+p-1]}{2}$=$\frac{p-2}{2}{n}^{2}$+$\frac{p}{2}$n，
由于对任意n∈N^*，都有T_n≤T₆，
T_n开口向下，∴p＜2，且5.5≤$\frac{p}{2（2-p）}$≤6.5，解得$\frac{11}{6}≤p$$≤\frac{13}{7}$．
∴实数p的取值范围是$[\frac{11}{6}，\frac{13}{7}]$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．