题目内容
13．已知四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为12π，ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，则△PCD的面积为（ ）| A． | $\sqrt{7+2\sqrt{2}}$ | B． | $\sqrt{14}$ | C． | $\sqrt{15}$ | D． | 4 |
分析 由题意画出图形，设P到AB的距离为d，由球的半径相等列式求得d，进一步求得△PCD的边CD上的高，代入三角形面积公式得答案．
解答 解：如图，设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为r，
由四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为12π，得4πr2=12π，r=$\sqrt{3}$．
∵ABCD是边长为2的正方形，设其中心为M，则MC=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
∴OM=1，又PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，
设P到AB的距离为d，则$（d-1）^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{3}）^{2}$，
解得：d=1+$\sqrt{2}$．
∴△PCD的边CD上的高h=$\sqrt{{2}^{2}+（1+\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{7+2\sqrt{2}}$，
则△PCD的面积为S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{7+2\sqrt{2}}=\sqrt{7+2\sqrt{2}}$．
故选：A．
点评 本题考查棱锥的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．
练习册系列答案
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2．定义：若函数y=f（x）对定义域内的任意x，都有f（m+x）=f（m-x）恒成立，则称函数y=f（x）的图象的直线x=m对称，若函数f（x）=cx3+ax2+bx+1关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，且a＞4（${\sqrt{e}$+1），则函数g（x）=ex+f（x）在下列区间内存在零点的是（ ）
| A． | （-1，-$\frac{1}{2}}$） | B． | （-$\frac{1}{2}$，0） | C． | （$\frac{1}{2}$，1） | D． | （1，2） |