Question

9．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，则当△AEF的面积最大时，BC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设AC=x，利用线面垂直的性质定理可得：PA⊥AB，PA⊥AC．又AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，PA=AB=2，利用三角形面积计算公式可得：AE=$\sqrt{2}$，AF=$\frac{2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$．又∠ACB=90°，可得AF⊥平面PBC，AF⊥EF，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，设AC=x，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
又AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，PA=AB=2，
∴AE=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，AF=$\frac{2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$．
又∠ACB=90°，∴BC⊥AF，
又PC∩BC=C，∴AF⊥平面PBC．
又EF?平面PBC．
∴AF⊥EF，
EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8-2{x}^{2}}{4+{x}^{2}}}$．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{1}{2}×$$\frac{2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{8-2{x}^{2}}{4+{x}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8{x}^{2}-2{x}^{4}}{（4+{x}^{2}）^{2}}}$．
令4+x²=t＞4，∴x²=t-4．
f（t）=$\frac{8（t-4）-2（t-4）^{2}}{{t}^{2}}$=$\frac{-2{t}^{2}+24t-64}{{t}^{2}}$=$-64（\frac{1}{t}-\frac{3}{16}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，
当t=$\frac{16}{3}$，即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f（t）取得最大值$\frac{1}{4}$．
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，S_△AEF取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理、直角三角形的边角关系、二次函数的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．