Question

18．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右顶点A（2，0）和上顶点B，直线AB被圆T：x²+y²-10x+16=0所截得的弦长为$\frac{{12\sqrt{7}}}{7}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点作不过原点的直线l与椭圆E交于M，N两点，直线MA，NA与直线x=3分别交于C，D两点，记△ACD的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出a=2，直线AB方程为bx+2y-2b=0，由此利用点到直线的距离公式、弦长公式求出b，由此能求出E的方程．
（2）设直线MN的方程为x=my+1，代入E的方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出△ACD的面积的最小值．

解答 解：（1）圆T：（x-5）²+y²=9的圆心T（5，0），半径为3，
∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右顶点A（2，0）和上顶点B，∴a=2，
直线AB方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{b}=1$，即bx+2y-2b=0，
点T到直线AB的距离$d=\frac{|5b-2b|}{{\sqrt{{b^2}+4}}}=\frac{3b}{{\sqrt{{b^2}+4}}}$，
由弦长，得${d^2}=\frac{{9{b^2}}}{{{b^2}+4}}=9-{（{\frac{{6\sqrt{7}}}{7}}）^2}=\frac{27}{7}$，解得b²=3，
故E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（5分）
（2）设直线MN的方程为x=my+1，代入E的方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，…（7分）
直线MA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，
把x=3代入，得${y}_{c}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$，同理${y}_{D}=\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$，…（8分）
∴|CD|=|y_C-y_D|=$\frac{|{y}_{1}-{y}_{2}|}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
S₁=$\frac{1}{2}$|CD|=$\frac{3}{2}\sqrt{{m}^{2}+1}$，…（10分）
∴当m=0时，有${S_{min}}=\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．