Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（5）=2，则f（2009）=

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：本题利用条件（x+6）=f（x）+f（3），取x=-3，得到f（3）=0，则有f（x+6）=f（x），得到函数f（x）是周期函数，再将f（2009）转化为f（5），从而求出f（2009）的值，得到本题结论．

解答： 解：∵对任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴取x=-3，
f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（3）=0，
∴对任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x），
∴T=6．
∴f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=2
故答案为：2．

点评：本题考查了函数的周期性、奇偶性和抽象函数的性质研究，本题难度不大，属于基础题．