Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥AB，PD⊥BC，且PD=1，E为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于点O，连接OE，证明OE∥PA，然后证明PA∥平面BDE．
（2）以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面BDE的一个法向量，然后利用向量的数量积求解直线PB与平面BDE所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以OE是三角形PAC的中位线，所以OE∥PA，
∵OE?平面BDE，∴PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）解：∵PD⊥AB，PD⊥BC，AB∩BC=B，∴PD⊥平面ABCD，
如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），$E（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，
设平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$
由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DB}$得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\\ x+y=0\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=1，
∴$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，又∵$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{PB}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{PB}|}}=\frac{-1}{{\sqrt{3}×\sqrt{3}}}=-\frac{1}{3}$，
∴直线PB与平面BDE所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．