Question

已知cos（α-

π

6

）=

2

3

，且

π

6

＜α＜

π

2

，则cos2α=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由已知先求得sin（α-

π

6

），cos2（α-

π

6

），sin2（α-

π

6

）的值，由于cos2α=cos[2（α-

π

6

）+

π

3

]=cos2（α-

π

6

）cos

π

3

-sin2（α-

π

6

）sin

π

3

，代入即可求值．

解答： 解：∵cos（α-

π

6

）=

2

3

，且

π

6

＜α＜

π

2

，
∴0＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴sin（α-

π

6

）=

1-cos2(α- π 6 )

=

5

3

，
∴cos2（α-

π

6

）=cos²（α-

π

6

）-sin²（α-

π

6

）=

4

9

-

5

9

=-

1

9

，
∵0＜2（α-

π

6

）＜

2π

3

，
∴sin2（α-

π

6

）=

1-cos22(α- π 6 )

=

4 5

9

，
∴cos2α=cos[2（α-

π

6

）+

π

3

]=cos2（α-

π

6

）cos

π

3

-sin2（α-

π

6

）sin

π

3

=（-

1

9

）×

1

2

-

4 5

9

×

3

2

=-

1+4 15

18

．
故答案为：-

1+4 15

18

．

点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式，两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基础题．