题目内容
已知函数f（x）=
sinxcosx-sin2x+
，x∈R，（I）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（Ⅱ）设g（x）=f（x+
），试判断函数g（x）的奇偶性．
【答案】分析：（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=
sinxcosx-sin2x+
，x∈R，转化为f（x）=sin（2x+
），从而可求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（2）求得g（x）=f（x+
）=cos2x，再用奇偶函数的定义判断．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=
sinxcosx-sin2x+
=
sin2x+
cos2x=sin（2x+
），
∴函数f（x）的最小正周期T=π …（4分）
当2x+
=2kπ+
（k∈Z），即x=kπ+
（k∈Z）时，f（x）max=1，
∴当f（x）取得最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+
，k∈Z}； …（2分）
（Ⅱ）g（x）=f（x+
）=sin[2（x+
）+
]=cos2x，…（3分）
又g（-x）=cos（-2x）=cos2x=g（x），
∴g（x）是偶函数． …（3分）
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查三角函数的倍角公式与辅助角公式、正弦函数的定义域和值域及三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
sinxcosx-sin2x+
，x∈R，转化为f（x）=sin（2x+
），从而可求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；（2）求得g（x）=f（x+
）=cos2x，再用奇偶函数的定义判断．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=
sinxcosx-sin2x+
=
sin2x+
cos2x=sin（2x+
），∴函数f（x）的最小正周期T=π …（4分）
当2x+
=2kπ+
（k∈Z），即x=kπ+
（k∈Z）时，f（x）max=1，∴当f（x）取得最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+
，k∈Z}； …（2分）（Ⅱ）g（x）=f（x+
）=sin[2（x+
）+
]=cos2x，…（3分）又g（-x）=cos（-2x）=cos2x=g（x），
∴g（x）是偶函数． …（3分）
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查三角函数的倍角公式与辅助角公式、正弦函数的定义域和值域及三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
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