Question

已知函数f（x）=（x²+a）•e^x（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的斜率为-3．
（1）求a的值以及切线l的方程；
（2）求f（x）在R上的极大值和极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数f′（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，可得求a的值，进而得到切线方程；
（2）确定极值点，函数的单调性，即可求f（x）在R上的极大值和极小值．

解答： 解：（1）f（x）=（x²+a）•e^x⇒f'（x）=（x²+2x+a）•e^x…（2分）
所以f'（0）=-3⇒a=-3，…（4分）
所以f（0）=-3，切线方程为3x+y+3=0；…（6分）
（2）f（x）=（x²+a）•e^x⇒f'（x）=（x²+2x-3）•e^x=（x+3）（x-1）e^x⇒f'（x）=0⇒x=-3或x=1，…（8分）
当x∈（-∞，-3），f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-3，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，…（11分）
所以极大值为f（-3）=6e^-3，极小值为f（1）=-2e．…（13分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力．