Question

设函数f（x）=2-

3

x

．
（Ⅰ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义加以证明；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数的单调性的定义，直接证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性增函数即可；
（Ⅱ）利用函数的单调性，直接求解函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，下证之．（1分）
设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，有x₁＜x₂，则（2分）f(x1)-f(x2)=(2-

3

x1

)-(2-

3

x2

)=

3

x2

-

3

x1

=

3(x1-x2)

x1x2

．（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，（6分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），（7分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）在[2，5]上为增函数．（9分）
∴f(x)max=f(5)=

7

5

，f(x)min=f(2)=

1

2

．（12分）

点评：本题考查函数的单调性的定义的应用，单调性的证明以及单调性的应用，考查计算能力．