题目内容
已知在△ABC中，
•
=3，记＜
，
＞=θ．
（1）若△ABC的面积S满足
≤2S≤3，求θ的取值范围；
（2）若θ=
，求△△ABC的最大边长的最小值．
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
（1）若△ABC的面积S满足
| 3 |
（2）若θ=
| π |
| 3 |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，得到|
|•|
|=
，再利用三角形面积公式表示出S，将得出关系式代入求出tanθ的范围，即可确定出θ的范围；
（2）由θ的值确定出∠ABC的度数，得到AC最长，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式求出AC的最小值即可．
| AB |
| BC |
| 3 |
| cosθ |
（2）由θ的值确定出∠ABC的度数，得到AC最长，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式求出AC的最小值即可．
解答：
解：（1）∵
•
=|
|•|
|cosθ=3，即|
|•|
|=
，
∴S=
|
|•|
|sin（π-θ）=
tanθ，
∴
≤3tanθ≤3，即
≤tanθ≤1，
则θ的范围为
≤θ≤
；
（2）若θ=
，则∠ABC=
，则其所对的边AC最长，
由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos
≥2AB•BC+AB•BC=3AB•BC=3×
=18，
当且仅当AB=BC时取等号，
∴AC≥3
，
则△ABC的最大边长的最小值为3
．
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| 3 |
| cosθ |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
| 3 |
| 2 |
∴
| 3 |
| ||
| 3 |
则θ的范围为
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（2）若θ=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos
| 2π |
| 3 |
| 3 | ||
cos
|
当且仅当AB=BC时取等号，
∴AC≥3
| 2 |
则△ABC的最大边长的最小值为3
| 2 |
点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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