Question

如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：
（Ⅰ）EF∥平面MNCB；
（Ⅱ）平面MAC⊥平面BND．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取NC的中点G，连结FG，MG，由已知条件推导出四边形MEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面MNCB．
（Ⅱ）连结BD、MC，由已知条件推导出AC⊥平面BDN，由此能证明平面MAC⊥平面BND．

解答： 证明：（Ⅰ）取NC的中点G，连结FG，MG，
∵ME∥ND，且ME=

1

2

ND，
又∵F，G分别为DC、NC的中点，FG∥ND，且FG=

1

2

ND，
∴FG

∥

.

ME，∴四边形MEFG是平行四边形，
∴EF∥MG，
又MG?平面MNCB，EF不包含于MNCB，
∴EF∥平面MNCB．
（Ⅱ）连结BD、MC，∵四边形MADN是矩形，
∴ND⊥AD，又∵平面ABCD∩平面MADN=AD，
DN?平面MADN，∴ND⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵BD∩ND=D，∴AC⊥平面BDN，
又∵AC?平面MAC，
∴平面MAC⊥平面BND．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．