Question

20．已知函数f（x）=|cosx|sinx，给出下列四个说法：
①函数f（x）的周期为π；
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，则x₁=x₂+kπ，k∈Z；
③f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上单调递增；
④f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{2}$，0）中心对称．
其中正确说法的个数是（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 利用一些特殊值，结合三角函数的性质和图象依次判断各结论即可．

解答 解：由函数f（x）=|cosx|sinx，
∵f（x+π）≠f（x），函数f（x）的周期不是π，故①不正确．
若|f（x₁）|=|f（x₂）|，即|$\frac{1}{2}$sin2x₁|=|$\frac{1}{2}sin2{x}_{2}$|；若x₁=0，${x}_{2}=\frac{π}{2}$，依然成立，故②不对．
当x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，函数f（x）=|cosx|sinx=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]是单调递增函数．故③对
若f（x）的图象关于原点对称的，是奇函数，则（0，0）中心对称，而f（x+$\frac{π}{2}$）=|cos$\frac{π}{2}+x$|•sin（x+$\frac{π}{2}$）≠f（x），所以点（-$\frac{π}{2}$，0）不是中心对称．故④不对．
综上所述：正确的是③，只有一个
故选：C．

点评 本题考查了命题的真假性的判断以及三角函数的单调性，奇偶性，周期性和对称轴的综合的应用能力，属于中档题．