Question

17．已知函数f（x）=sin²x+cosx+$\frac{5}{8}$a-$\frac{3}{2}$在闭区间[0，$\frac{π}{2}}$]上的最小值是2，求对应的a值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系式化正弦为余弦，配方后求出函数在区间[0，$\frac{π}{2}}$]上的最小值，结合已知求得a值．

解答 解：f（x）=sin²x+cosx+$\frac{5}{8}$a-$\frac{3}{2}$=$-co{s}^{2}x+cosx+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}$=$-（cosx-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{4}$，
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，0≤cosx≤1，
∴当cosx=0或cosx=1时，$f（x）_{min}=\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}=2$，解得a=4．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，是基础题．