Question

已知a，b是正实数，函数f（x）=-x³+ax²+bx在x∈[-1，2]上单调递增，则a+b的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   （0，1）
4. D.
   （1，+∞）

Answer 1

B
分析：由题意可得f′（x）=-x² +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数的性质可得f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，化简可得a+b的取值范围．
解答：∵a，b是正实数，函数f（x）=-x³+ax²+bx在x∈[-1，2]上单调递增，∴f′（x）=-x²+2ax+b，
且f′（x）=-x² +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立．
由于二次函数f′（x）=-x² +2ax+b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为 x=a，
故有f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，即 ．
化简可得 2a+2b≥5，a+b≥，故a+b的取值范围为，
故选B．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．