题目内容
已知a，b是正实数，函数f（x）=-
x3+ax2+bx在x∈[-1，2]上单调递增，则a+b的取值范围为（ ）
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分析：由题意可得f′（x）=-x2 +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数的性质可得f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，化简可得a+b的取值范围．
解答：解：∵a，b是正实数，函数f（x）=-
x3+ax2+bx在x∈[-1，2]上单调递增，∴f′（x）=-x2+2ax+b，
且f′（x）=-x2 +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立．
由于二次函数f′（x）=-x2 +2ax+b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为 x=a，
故有f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，即
．
化简可得 2a+2b≥5，a+b≥
，故a+b的取值范围为[
，+∞)，
故选B．
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且f′（x）=-x2 +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立．
由于二次函数f′（x）=-x2 +2ax+b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为 x=a，
故有f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，即
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化简可得 2a+2b≥5，a+b≥
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故选B．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．
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