题目内容
已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[
，
]且f（x0）≤g（x0）成立，求
的取值范围．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[
| a+b |
| 4 |
| 3a+b |
| 5 |
| b |
| a |
分析：（I）根据已知求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，求出其导函数，分别求出导函数为正，为负时x的取值范围，进而可得h（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据区间的定义可得
＜
，由f（x0）≤g（x0），结合（I）中函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得
的取值范围．
（Ⅱ）根据区间的定义可得
| a+b |
| 4 |
| 3a+b |
| 5 |
| b |
| a |
解答：
解：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+a-xlnb
∴h′（x）=lnx+1-lnb
由h′（x）＞0得x＞
，
∴h（x）在（0，
）上单调递减，（
，+∞）上单调递增．…（4分）
（2）由
＜
得
＜7 …（5分）
（i）当
≤
≤
，即
≤
≤
时，
h（x）min=h（
）=-
+a
由-
+a≤0得
≥e，
∴e≤
≤
…（7分）
（ii）当
＜
时，a＞
b
∴h（x）在[
，
]上单调递增．
h（x）min=h（
）=
（ln
-lnb）+a≥
（ln
lnb）+a=
＞
=
b＞0
∴不成立 …（9分）
（iii）当
＞
，即
＞
时，a＜
b
h（x）在[
，
]上单调递减．
h（x）min=h（
）=
（ln
-lnb）+a＜
（ln
lnb）+a=
＜
=
b＜0
∴当
＞
时恒成立 …（11分）
综上所述，e≤
＜7 …（12分）
解：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+a-xlnb∴h′（x）=lnx+1-lnb
由h′（x）＞0得x＞
| b |
| e |
∴h（x）在（0，
| b |
| e |
| b |
| e |
（2）由
| a+b |
| 4 |
| 3a+b |
| 5 |
| b |
| a |
（i）当
| a+b |
| 4 |
| b |
| c |
| 3a+b |
| 5 |
| e |
| 4-e |
| b |
| a |
| 3e |
| 5-e |
h（x）min=h（
| b |
| e |
| b |
| e |
由-
| b |
| e |
| b |
| a |
∴e≤
| b |
| a |
| 3e |
| 5-e |
（ii）当
| b |
| c |
| a+b |
| 4 |
| 4-e |
| e |
∴h（x）在[
| a+b |
| 4 |
| 3a+b |
| 5 |
h（x）min=h（
| a+b |
| 4 |
| a+b |
| 4 |
| a+b |
| 4 |
| a+b |
| 4 |
| b |
| e |
| 3a-b |
| 4 |
3
| ||
| 4 |
| 3-e |
| e |
∴不成立 …（9分）
（iii）当
| b |
| e |
| 3a+b |
| 5 |
| b |
| a |
| 3e |
| 5-e |
| 5-e |
| 3e |
h（x）在[
| a+b |
| 4 |
| 3a+b |
| 5 |
h（x）min=h（
| 3a+b |
| 5 |
| 3a+b |
| 5 |
| 3a+b |
| 5 |
| 3a+b |
| 5 |
| b |
| e |
| 2a-b |
| 5 |
2•
| ||
| 5 |
| 2-e |
| 3e |
∴当
| b |
| a |
| 3e |
| 5-e |
综上所述，e≤
| b |
| a |
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，熟练掌握导数法求函数的单调性和最值的方法和步骤是解答的关键．
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